【送料無料】アトレー 320/330系 アルミ ドラムカバー 買い物リアのみ カラー:鏡面ブルー シルクロード DCD-006【代引不可】:ショッピングゲンキー おくすり別館

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

nhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html カラー平均台 幅広低型200 緑 ( S-8887 / SWT10322955 )送料ランク【C】【 三和体育 】【QBHモンベル フリース12】:Fieマムート tシャツld Boss 店nhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html アズマ 水切台(バックガードなし) 750×450×800お歳暮 KTM-ショーケース750:業務用厨房機器のリサイクルマートnhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html買い物 サンワサプライ  ER-160CPU eラックCPUスタンド(W1600):共立e−online shopヘルシオnhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html (業務用5セット) マックス 大型ホッチキス HD-12N/13 HD90034【送料込/送料無料】【ポイント10倍】:ユニクラ通信販お中元売ス 店nhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html ブルガリ ネ贈答品クタイ 241179 メンズ プリント デザイン ストライプ通販 ボルドー/リラ 紙袋付き【あす楽対応】【YDKG-tk】 カード分割:ブランド・COME ◆送料無料◆KMX-20MNAアラーム付き2時間耐火金庫 新品 マグネットロック式耐火金庫 キング工業通販【代引き不可】king crown日本アイエスケイ 信頼ある日本国内生産の耐火金庫です-s:ことぶき金庫 ケイバツール/KEIBA TOOL 小さなペンチ三兄弟(エアコンフィルター3丁セット) BT-010:オートパーツエージェンシー

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
【ビルドアライン】 アルミ (フロント) スモーク(GSXR750 90-91) 【20551100お買い得S】:Dimension-3 NIKONニコン 交換レンズ AF-S DX Micro NIKKOR 40mmノートPC f/2.8G(送料無料):PCボンバー 店 ZAP TECHNIX ZAP TECHN通販IX 40mmコア強化ラジエーター 仕様:KX250F 11-14:GooBikeParts支店30%OFF HUFハフ ジップアップ パーカー 人気SALE,定番人気 [430%OFF HUFハフ ジップアップ パーカー 人気SALE,定番人気 [439G55NL01851E] : 送料無料39G55NL01851E] : 送料無料, 豊富 オンラインショッピングベイブレードBeyblade Beyblaster (B-204A)【レビューで素敵なプレゼント】ベーゴマ ベイゴマ パーツ オリジナル カスタマイズ すり鉢 スタジアム セット シューター ワインダー エコモニカ:premium stone gallery Magical Racing マジカルレーシング 耐久レース用スクリーン CBR600RR FI改造RE BLADE [ファイアブレード] 03-04:ウェビック 店 MAMMUT マムート バックパック Xeron Flip 22 2510-02通信販売702 22L MAM25100270222:Retailer リテイラー【YCMCORPORATION】 オイル式レンザティックコンパスオンラインショッピング 日本製 ゴールド G-49 /20点入り(代引き不可)【ポイント10倍】:リコメン堂 【銀河鉄道999】 メーテルリング シルバー:U-treasure (ユートレジャショッピングー)買い物販売店 オーブス Medical Heart Ge-132 Super 有機ゲルマニウム水 50ml飲料用添加水【オーブス記憶水】【送料無料】☆:lavie-cosme モニカ 3人掛 ns-514cr ソファ 三人掛け ソファー ローソファー 二人掛け アメリカン 北欧 ビンテージ アンティーク レザー フレグランスファブリック:agog 店 ラブ通信販売クオーツ レディース マフラー・ストール・スカーフ アクセサリー Travel Weight Cashmere Dip-Dye Scarf Muse/Cement:asty Yonex(ヨネックス)テニスウインドウェアウィメンズ 裏地付きウバレーボールインドウォーマーシャツ78043ネイビーブルー:ゴトウスポーツ(SPG-SPORTS)MエアロバイクTrT販売店 DANNO ダンノ ラダートレーニング トレーニングラダーHDX D-346:スポーツダイアリーAlmost オールモスト 通販Skateboard Deck X-NEON YOUNESS AMRANI 7.75:【I LOVE LA】 KC/キョーリツコーポレーション J130 《ギター用ケース》【送料無料】 [J-130]:クロサワ楽器池袋店 Waveお歳暮house 排泄介護用品 ポータブルトイレFX-CP “ちびくまくん" 快適脱臭 ノーマルタイプ 533-580 アロン化成 コンパクト:高田ベッドタノシニア 店 【中古】【Dランク】【フレックスその他】◆タイトリスト◆Titleist T-MB 716 6S◆リシャフト◆その他【golpa】【メンズ】【右利き】【IR】 ゴルフクラブ:ゴルフ贈答品パートナー 店 【条件付き送料無料】【ノーパ買い物ンクタイヤ仕様】松永製作所介助式車いすNEXT-20Bネクストコア・プチNEXT COREタイヤの内部に特殊なインナーチューブを採用!空気管理の必要性がなく、クッション性もあります:てらすけ PROFILE DEシマノSIGN(プロファイルデザイン) 58 TWENTYFOUR フルカーボンチューブラーFノミ ブラックロゴ(W5824TUBF1-1) ホイール(ロード Tub):Be.BIKE 1抗菌ポリエチレン・かるがるまな板 標準タイプSDK(片面5mm厚)SKD25-7535 ホワイト【業務用マナ板】【白いまな板】【カッティングボード】【プロ用】【抗ショッピング菌】【業務用厨房機器厨房用品専門店】:厨房用品専門店!安吉植物性潤滑油 PK-30 48ギフト0ml (15本):お店応援資材やさん 【茶器/茶道具 なつめ/薄器】 季節の棗 中棗 桜皮に桜又は菖蒲又は翡翠又は祇園祭り 米本和禅作 【smtb-KD】:いショッピングまや茶の湯日本茶・今屋静香園 宗派用仏具付ミニ仏壇 16号こころ:黒塗り 陶具足鉄釉仏具セット&真言宗用ご本尊掛軸(軸1幅)【国産品/小型仏壇/家具調仏壇/上置型/送料無料】【smtb-TK】p0ギフト17e04c-1:大黒屋仏壇店 17-18 Mtn. Rock Star マウンテンロックスター スノーボードウェア HARUMAKI JACKE通販T ハルマキジャケット ユニセックス:フォローズ surf&snow ◆ベストテントウェイト20 B-4830◆テントウェイト TOEお歳暮I LIGHT トーエイライト【RCP】:家庭の達人THE KISS ネックレス 定番,限定SALE [Q957771 得価 445109N] : 新作, 得価販楯売店 楯 > 木製楯 > F-5050〜5629 > F-5629:中外徽章株式会社店 Supreme × Champion/5-お歳暮Panel/シュプリーム×チャンピオン/サイズ:Free/WHITE/帽子/キャップ/コラボ/スニーカー/靴 シューズ【メンズ 古着】【中古】【山城店】:開放倉庫 【第3類医薬品】ハクビホワイトC 180錠 ×10個セット【お取り寄せ】(4987316025292-10):通販ベストHBI【USA在庫あり】 1304-0516 ムース MOOSE Util贈答品ity Division リフトアップキット 00年-09年 ヤマハ YFM400 Big Bear 2x4 キット ステンレス:株式会社ヒロチー商事 店【NEWモデル】 O-Reiシリーズ ウルトラストレッチシェルパーカー上下セット 【ATHLETA-ア通信販売スレタ】 フットサルウェア/サッカーウェア:SportsHEART-スポーツハート 【送料無料】グスタフスベリ Gustavsberg コーヒーカップ&ソーサー レッドアスター Red aster ブルーアスター Blue aster- 北欧食器:arco 贈答品store Alternative オルタネイティお買い得ブ レディース 女性用 長袖 ファッション Tシャツ Alternative オルタネイティブ Cotton Modal Jersey Around Town Tunic - Black:【I LOVE LA】 通販LEDオプション付き!【送料無料】 VISION(ビジョン) 品番:1480S <トヨタ プリウス(ZVW50系)> カーセキュリティ・盗難警報装置 CAN-BUS取付/純正キーレス連動/リレーアタック対策モード:カー用品イチオシ通販 【中古】中古部品 ツーリングハイエース RCH41W 右テールランプ(内側) 【13371814】:ギフトe-cleマート 【送料無料】(業務用30セット) ジョインテップレゼントクス 付箋/貼ってはがせるメモ 【75×75mm/混色】 100枚*20冊 P512J-M-20【代引不可】:あひるのドラッグ 【 レクサス IS300h 年式 H買い物25/4- 型式 AVE30 エンジン形式 2AR-FSE 品番 51403-TAE30 】 トムス TOMS 【 メンバーブレース ≪ フロント スチール製 ≫】:アールエス イスカル 突切用ホルダー TGTL25ショッピング25-3-IQ:配管材料プロ トキワ 大感謝価格『1203000005 鳥かごの砂(48個入りケース))』comc、5000円税別以上送料無料、ポイント(メーカー直送品の為、代引不可、同梱・返品・キ通販ャンセル不可・お一人様1個まで)『smtb-td』10P03Dec16:ヘルシー救急BOX販ショッピング売店 【送料無料】携帯・壁掛兼用型キーボックス アイボリー Ci-100 ci100:おうちまわり 店 サロン専売品通信販売2 > ナカノ / nakano > FC:セレクトショップ アレイズ ● 【送料無料】 Alpine DESIGN (買い物アルパインデザイン) キャンプ用品 ファミリータープ カンタンタープ 300 ワンハーフキャノピー キャスター ダークグリーン AD-S16-402-108:スポーツオーソリティ 店MTrらくらくヘルパーT販売店 ツルミポンプ/鶴見製作所 水中ハイスピンポンプ(汚物用水中ポンプ) U型 (50U2.4-50HZ ):DIY FACTORY ONLINE SHOP 【送料無料】HIPHOP ヒップホップ アクセサリー Bling Bling Jewelry ブリンブリン ジュエリー チカーノ ウェッサイ ギャングスタ G-RAP B系JOJO Urban アーバン ブラック セール 通販限定特別価格 Joe Rodeo(ジョーロデオ) Aqua Master ICE LINK(アイスリンク) 正規品取扱店:Premium R Jewelry

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

nhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.htmlnhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html GARIZ SONY α6500用 本革カメラケース XS-CHA650贈り物0OR オレンジ:AZお中元store 店nhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html SCAPE 17-18 エスケー贈答品プ ウエア レディース【YITH JACKET 】イース ジャケッお中元ト スノーボード SNOW WEAR ウェアー 予約販売品9月末-10月入荷予定:Flea フレアnhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html31×10.50R15 109S アウトラインホワイトレター (31X10.50R15) GEOLANDAR A/T-S G最安 タイヤお歳暮012 (ジオランダー ATS G012) YOKOHAMA (ヨコハマ):PowerWebnhgyh9s.htmlnhgyh9z.htmlnhgyh71.htmlnhgyhqg.htmlnhgyhor.html GSX-R1100Wゲルザブ MRA(エムアールエー)スクリーンスポイラ通信販売ー(93年〜94年モデル用):バイク メンテ館お歳暮 TOTO ウォシュレットBV(大型、普通兼用)(パステルアイボリー) TCF2221E-SC1:激安!家電のタンタンショップ オーエッチ工業 [HX34PK-300] スーパーストロングキャスター 300mm HX34PK30 HX34アルコールチェッカーPK300 【送料無料】:測定器・工具のイーデンキ

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

home0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899